达芬奇密码

斐波那契数列

斐波那契数列

在解决这道题目之前我们首先先了解一下什么是斐波那契数列：
斐波那契数列的由来源于一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？
为了更清晰一点，我们作出下面的示意图。

在图中，我们的黑点表示的是成熟兔子，白点表示的是小兔子。我们够仔细的话能够发现，右边这一列数字是有规律的。第一个数和第二个数为 1，之后的每一个数为之前两个数之和。比如，六月份的兔子数量为四月份和五月份兔子数量之和，即 8=5+3。
此外，我们再仔细看一下，六月份的兔子中有五对黑（成熟）兔子和三对白兔子，8=5+3。同样是 8=5+3，但是该等式和上式中的 5 与 3 表示了不同的意义，那么他们之间是否存在本质的联系呢。实际上 5 对黑兔子就是上个月的 5 对兔子变来的，只不过其中的白兔子都变为了黑兔子，即 5=5； 三只白兔子从哪来的，它们是四月份的三对兔子生的，不管黑白，到了五月份都是黑兔子，六月份的时候也就只有它们能生小兔子，而且必须生一对小兔子，所以 3=3。

由此，我们甚至可以预测到未来的兔子数量

斐波那契数列的特性

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
观察一下上面的数列，你发现有什么特征吗？

1. 第一项和第二项是 1，之后的每一项为之前两项的和。

$a_1=a_2=1$

即：$a_n=a_(n-1)+a_(n-2)$

2. 对每一项做平方

前几项平方求和求和：

$1^2+1^2$=2

$1^2+1^2+2^2$=6

$1^2+1^2+2^2+3^2$=15

$1^2+1^2+2^2+3^2+5^2$=40

$1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2$=104

......................

我们观察一下等式右边

该等式右边中所有的数字均为斐波那契数，神奇吧。而且这不是一个巧合，这个性质不限于上式中的几个，事实上，我们可以写出前 n 项的平方和，依旧有这样的性质。为什么斐波那契数的前 N 项平方和可以写成两个斐波那契数之积呢？
既然这个性质不是巧合，那么其中必定有着更深层的数学本质。解决这个问题，我们从从上述的等式中貌似很难得到结论。我们转换一下思路，平方有何几何意义，显然平方指的是一个正方形的面积，那好，我们依照这个思路，作一个几何图形试试。

这下就很容易明白了，比如式中的第一个等式 1²⁺¹2=1*2。左边表示两个正方形的面积，右边表示一个长方形的面积，很显然它们表示的是同一区块的面积。再比如最后一个等式，左边表示上图中六个正方形的面积之和，右边表示图中的大长方形的面积，左右两边也是同一个区块。现在似乎明白了等式为什么成立了
我们只要知道当一个斐波那契数为其前 n 项平方之和，我们就可以构造上面的几何图形，而且这样构造的图形中的长方形 (粗黑线为边界) 的边长只能为斐波那契数。

3. 左边为相邻两个斐波那契数的平方和，我们发现计算的结果全为斐波那契数

4. 斐波那契数列与杨辉三角的关系

将杨辉三角中的斜向的一列数求和，得到一组新的数，而这一组新的数正好是斐波那契数列

5. 斐波那契数列的整除性与素数生成性

每 3 个数有且只有一个被 2 整除，
每 4 个数有且只有一个被 3 整除，
每 5 个数有且只有一个被 5 整除，
每 6 个数有且只有一个被 8 整除，
每 7 个数有且只有一个被 13 整除，
每 8 个数有且只有一个被 21 整除，
每 9 个数有且只有一个被 34 整除，

.... ...
... ....
生活中斐波那契数列也是很神秘的存在
大到宇宙银河

小到我们的手指

甚至是鹦鹉螺中都存在斐波那契数

总地来说，斐波那契数列代表了神一样的递归思想。并在数论和计算机科学领域中长盛不衰。

参考

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Leonardo Pisano Fibonacci//MacTutor History of Mathematics archive

[2] Dr R Knott. "Who was Fibonacci?". Maths.surrey.ac.uk. Retrieved 2010-08-02.

[3] Weisstein, Eric W., "Binet's Fibonacci Number Formula", MathWorld.

[4] Douady, S; Couder, Y (1996), "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF), Journal of Theoretical Biology 178 (178): 255–74, doi:10.1006/jtbi.1996.0026

[5] Jones, Judy; Wilson, William (2006), "Science", An Incomplete Education, Ballantine Books, p. 544, ISBN 978-0-7394-7582-9

[6] Brousseau, A (1969), "Fibonacci Statistics in Conifers", Fibonacci Quarterly (7): 525–32

[7] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–7, ISBN 978-0-387-97297-8

[8] Vogel, H (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences 44 (44): 179–89, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4

解题思路

现在回到题目

达芬奇隐藏在蒙娜丽莎中的数字列:

1 233 3 2584 1346269 144 5 196418 21 1597 610 377 10946 89 514229 987 8 55 6765 2178309 121393 317811 46368 4181 1 832040 2 28657 75025 34 13 17711

记录在达芬奇窗台口的神秘数字串:

36968853882116725547342176952286

这道题题目是达芬奇密码，我一开始猜想可能会和原著有关，于是去翻阅里面存在的各种密码

不耐心，没找到。
但是
电影简介中会提到 —— 斐波那契数列。贯穿整部电影的重要线索。
而隐藏在蒙娜丽莎中的数字列则是斐波那契数列

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309

对比蒙娜丽莎中的数字列，发现数值一样，但是进行了位移。
之后对比，观察题目中给到的两个数列的长度都是 32，并且题目提示 flag 也是 32 位，可以推测，神秘数列是通过 flag 位移后得出的，而位移的规则是斐波那契数列的位移。

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309

1 233 3 2584 1346269 144 5 196418 21 1597 610 377 10946 89 514229 987 8 55 6765 2178309 121393 317811 46368 4181 1 832040 2 28657 75025 34 13 17711

3 6 9 6 8 8 5 3 8 8 2 1 1 6 7 2 5 5 4 7 3 4 2 1 7 6 9 5 2 2 8 6

对比两列数列：

第 0 位 1 还是 1，没有位移。

第一位 233 是斐波那契数列中的第十二位（从第 0 位开始算），因此下面神秘数字串的第一位的 6 是原本 flag 的第十二位。（因为神秘数列是通过 flag 位移后得出的，而位移的规则是斐波那契数列的位移。我们通过斐波那契数列位移反推 flag）

第二位 3 是斐波那契数列的第三位，因此下面神秘数字串的第二位的 9 是原本 flag 的第三位。

以此类推……

fb = '1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309'

t = '1 233 3 2584 1346269 144 5 196418 21 1597 610 377 10946 89 514229 987 8 55 6765 2178309 121393 317811 46368 4181 1 832040 2 28657 75025 34 13 17711 '

m = '36968853882116725547342176952286'

s = 'a' * 32

s = list(s)

fb = fb.split(' ')

t = t.split(' ')

for i in range(32):

    s[fb.index(t[i])] = m[i]

for i in range(32):

    print(s[i], end='')

这里补充一下 python 语法：
Python 列表 index () 方法
index () 方法返回指定值首次出现的位置

fruits = ['apple', 'banana', 'cherry']

x = fruits.index("cherry")

print(x)

返回为2

最后结果中带有一个 a

题目说的是 32 位十进制，可能是哪里出错了...

注意数字列中的第 2 个 1 在第 24 位，由于 string.index () 函数在查询下标的时候，会从右往左查询，故而第 24 位的 1 所对应的数字 7，覆盖了第 0 个位置的 1 所对应的数字 3。所以第 1 个位置没有数字，还是 a